問題詳情：
如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°，那麼我們稱這樣的三角形爲“準互餘三角形”．
（1）若△ABC是“準互餘三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，則∠B= °；
（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分線，不難*△ABD是“準互餘三角形”．試問在邊BC上是否存在點E（異於點D），使得△ABE也是“準互餘三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由．
（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準互餘三角形”，求對角線AC的長．
【回答】
【分析】（1）根據“準互餘三角形”的定義構建方程即可解決問題；
（2）只要*△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解決問題；
（3）如圖②中，將△BCD沿BC翻折得到△BCF．只要*△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，設FB=x，則有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（捨棄），再利用勾股定理求出AC即可；
【解答】解：（1）∵△ABC是“準互餘三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=60°，
解得，∠B=15°，
故*爲：15°；
（2）如圖①中，
在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD=90°，
∴△ABD是“準互餘三角形”，
∵△ABE也是“準互餘三角形”，
∴只有2∠A+∠BAE=90°，
∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，
∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，
∴CE=
，
∴BE=5﹣
=
．
（3）如圖②中，將△BCD沿BC翻折得到△BCF．
∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，
∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，
∴A、B、F共線，
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF2=FB•FA，設FB=x，
則有：x（x+7）=122，
∴x=9或﹣16（捨棄），
∴AF=7+9=16，
在Rt△ACF中，AC=
=
=20．
【點評】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和*質、“準互餘三角形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用翻折變換添加輔助線，構造相似三角形解決問題，學會利用已知模型構建輔助線解決問題，屬於中考壓軸題．
知識點：各地中考
題型：解答題
