问题详情:
已知曲线上动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数,若过的动直线与曲线相交于两点
(1)说明曲线的形状,并写出其标准方程;
(2)是否存在与点不同的定点,使得恒成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由
【回答】
【详解】(1)设动点坐标为
点到直线的距离为.依题意可知
则
化简得
所以曲线是椭圆,它的标准方程为
(2)①当直线与轴垂直时,由椭圆的对称*可知,又因为,则
从而点必在轴上.
②当直线与轴垂直时,则,由①可设,
由得,解得(舍去),或.
则点的坐标只可能是.
下面只需*直线斜率存在且时均有即可.
设直线的方程为,代入得.
设
所以
设点关于轴对称的点坐标
因为直线的斜率
同理得直线的斜率
,三点共线.
故.
所以存在点满足题意.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题