问题详情：
已知函数
，若曲线
上始终存在两点
，
，使得
，且
的中点在
轴上，则正实数
的取值范围为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【回答】
D
【解析】
【分析】
根据
中点在
轴上，设出
两点的坐标
，
，（
）.对
分成
三类，利用
则
，列方程，化简后求得
，利用导数求得
的值域，由此求得
的取值范围.
【详解】根据条件可知
，
两点的横坐标互为相反数，不妨设
，
，（
），若
，则
，由
，所以
，即
，方程无解；若
，显然不满足
；若
，则
，由
，即
，即
，因为
，所以函数
在
上递减，在
上递增，故在
处取得极小值也即是最小值
，所以函数
在
上的值域为
，故
.故选D.
【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，考查利用导数研究函数的最小值，考查分析与运算能力，属于较难的题目.
知识点：不等式
题型：选择题
