问题详情：
如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试*DM⊥MG，并求
的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中
的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
【回答】
（1）*：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．
∵四边形ABCD，四边形BCFG都是正方形，
∴DE∥AC∥GF，
∴∠EDM＝∠FHM，
∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，
∴△EDM≌△FHM（AAS），
∴DE＝FH，DM＝MH，
∵DE＝2FG，BG＝DG，
∴HG＝DG，
∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，
∴GM⊥DM，DM＝MG，
连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2
a，BF＝
a，
∵∠EBD＝∠DBF＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF＝
＝
a，
∵EM＝MF，
∴BM＝
EF＝
a，
∵HM＝DM，GH＝FG，
∴MG＝
DF＝
a，
∴
＝
＝
．
（2）解：（1）中
的值有变化．
理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．
∵DO＝OA，DG＝GB，
∴GO∥AB，OG＝
AB，
∵GF∥AC，
∴O，G，F共线，
∵FG＝
AB，
∴OF＝AB＝DF，
∵DF∥AC，AC∥OF，
∴DE∥OF，
∴OD与EF互相平分，
∵EM＝MF，
∴点M在直线AD上，
∵GD＝GB＝GO＝GF，
∴四边形OBFD是矩形，
∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，
∵OM＝MD，OG＝GF，
∴MG＝
DF，设BC＝m，则AB＝2m，
易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，
∵BM＝EF＝
＝
，GM＝DF＝m•sinα，
∴
＝
＝
．
知识点：各地中考
题型：综合题
