问题详情：
在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【回答】
（1）3；（2）∠DEF的大小不变，tan∠DEF=
；（3）
或
．
【解析】
（1）当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE=
OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3；
（2）∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴
,
，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM=
AB=3，DN=
OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴
，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=
；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF=
（3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣
t+
，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（
，
），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：
，
解得：
，
∴直线AD的解析式为y=﹣
x+6，
把G（
，
）代入得：t=
；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF=
（t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣
t+
，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（
，
），
代入直线AD的解析式y=﹣
x+6得：t=
；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为
或
.
考点：四边形综合题.
知识点：一次函数
题型：解答题
