问题详情:
材料一:一个正整数x能写成x=a2﹣b2(a,b均为正整数,且a≠b),则称x为“雪松数”,a,b为x的一个平方差分解,在x的所有平方差分解中,若a2+b2最大,则称a,b为x的最佳平方差分解,此时F(x)=a2+b2.
例如:24=72﹣52,24为雪松数,7和5为24的一个平方差分解,32=92﹣72,32=62﹣22,因为92+72>62+22,所以9和7为32的最佳平方差分解,F(32)=92+72
材料二:若一个四位正整数,它的千位数字与个位数字相同,百位数字与十位数字相同,但四个数字不全相同,则称这个四位数为“南麓数”.例如4334,5665均为“南麓数”.
根据材料回答:
(1)请直接写出两个雪松数,并分别写出它们的一对平方差分解;
(2)试*10不是雪松数;
(3)若一个数t既是“雪松数”又是“南麓数”,并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t的一个平方差分解,请求出所有满足条件的数t中F(t)的最大值.
【回答】
(1)112=112﹣32,40=72﹣32;(2)见解析;(3)12020.
【分析】
(1)根据雪松数的特征即可得到结论;
(2)根据题意即可得到结论;
(3)设t=(a,b均为正整数,且0<a≠b≤9),另一个“南麓数”为t′=(m,n均为正整数,且0<n<m≤9),根据“南麓数”的特征即可得到结论.
【详解】
解:(1)112=112﹣32,40=72﹣32;
(2)若10是“雪松数”,
则可设a2﹣b2=10(a,b均为正整数,且a≠b),则(a+b)(a﹣b)=10.
又∵10=2×5=10×1.
∵a,b均为正整数,
∴a+b>a﹣b,
∴,或,
解得:或,
与a,b均为正整数矛盾,故10不是雪松数;
(3)设t=(a,b均为正整数,且0<a≠b≤9),
另一个“南麓数”为t′=(m,n均为正整数,
且0<n<m≤9),则t=(10m+n)2﹣(10n+m)2=99(m2﹣n2)=99(m+n)(m﹣n),
∴99(m+n)(m﹣n)=1000a+100b+10b+a=1001a+110b,
整理得,(m+n)(m﹣n)=10a+b+.
∵a,b,m,n均为正整数,
∴a+b=9,
经探究,符合题意,
∴t的值分别为:2772,5445,t′的值分别为:8668,8338,
由材料一可知,F(t)的最大值为:862+682=12020.
【点睛】
本题主要考查分解因式的应用,实数的运算,理解新定义,并将其转化为实数的运算是解题的关键.
知识点:因式分解
题型:解答题