问题详情:
如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.
(1)求*:△ADF≌△BDG;
(2)填空:
①若AB=4,且点E是的中点,则DF的长为 4﹣2 ;
②取的中点H,当∠EAB的度数为 30° 时,四边形OBEH为菱形.
【回答】
解:(1)*:如图1,∵BA=BC,∠ABC=90°,
∴∠BAC=45°
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠AEB=90°,
∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°
∴∠DAF=∠DBG
∵∠ABD+∠BAC=90°
∴∠ABD=∠BAC=45°
∴AD=BD
∴△ADF≌△BDG(ASA);
(2)①如图2,过F作FH⊥AB于H,∵点E是的中点,
∴∠BAE=∠DAE
∵FD⊥AD,FH⊥AB
∴FH=FD
∵=sin∠ABD=sin45°=,
∴,即BF=FD
∵AB=4,
∴BD=4cos45°=2,即BF+FD=2,(+1)FD=2
∴FD==4﹣2
故*为.
②连接OE,EH,∵点H是的中点,
∴OH⊥AE,
∵∠AEB=90°
∴BE⊥AE
∴BE∥OH
∵四边形OBEH为菱形,
∴BE=OH=OB=AB
∴sin∠EAB==
∴∠EAB=30°.
故*为:30°
【点评】本题主要考查了圆的*质,垂径定理,等腰直角三角形的*质,菱形的*质,解直角三角形,特殊角的三角函数值等,关键在灵活应用*质定理.
知识点:各地中考
题型:解答题