问题详情:
(1)数学实验室:
若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离表示为AB,即AB=|a﹣b|.
利用数轴回答下列问题:
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ,
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 .
③若x表示一个有理数,且﹣3<x<1,则|x﹣1|+|x+3|= .
④若x表示一个有理数,且|x﹣1|+|x+3|>4,则有理数x的取值范围 .
(2)三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x=+++++,则ax3+bx2+cx﹣5的值是 .
(3)定义一种对正整数n的“F运算”:①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:
若n=449,则第2016次“F运算”的结果是 .
【回答】
【考点】有理数的混合运算;数轴;非负数的*质:绝对值;非负数的*质:偶次方.
【分析】(1)①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|,依此即可求解;
③根据绝对值的*质去掉绝对值号,然后计算即可得解;
④由于|x﹣1|+|x+3|>4,可得有理数x的取值范围是﹣3的左边,1的右边;
(2)由三个数a、b、c的积为负数,可知三数中只有一个是负数,或三个都是负数;又三数的和为正,故a、b、c中只有一个是负数,根据对称轮换式的*质,不妨设a<0,b>0,c>0,求x的值即可;
(3)由于n=449是奇数,所以第一次利用①进行计算,得到结果1352,此时是偶数,利用②进行计算,除以8,才能成为奇数,然后再利用①计算得到结果是512,接着利用②除以512才能成为奇数,结果为1,再利用①结果为8,以后结果就出现循环,利用这个规律即可求出结果.
【解答】解:(1)①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2=3;
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x+2|;
③∵﹣3<x<1,
∴|x﹣1|+|x+3|
=﹣x+1+x+3
=4;
④∵|x﹣1|+|x+3|>4,
∴有理数x的取值范围x<﹣3或x>1;
(2)∵abc<0,
∴a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数;
又∵a+b+c>0,
∴a、b、c中只有一个是负数.
不妨设a<0,b>0,c>0,
则ab<0,ac<0,bc>0,
x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0,
当x=0时,
ax3+bx2+cx﹣5=0+0+0﹣5=﹣5;
(3)第一次:3×449+5=1352,
第二次:,根据题意k=3时结果为169;
第三次:3×169+5=512,
第四次:因为512是2的9次方,所以k=9,计算结果是1;
第五次:1×3+5=8;
第六次:,因为8是2的3次方,所以k=3,计算结果是1,此后计算结果8和1循环.
因为2016是偶数,所以第2016次“F运算”结果是1.
故*为:3;|x+2|;4;x<﹣3或x>1;﹣5;1.
【点评】此题考查了数轴,绝对值的*质,读懂题目信息,理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键.注意分类思想的运用.同时考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
知识点:有理数的乘除法
题型:解答题